Эффект от изменения правил в блэкджеке

Всем привет друзья, в данной статье более подробно будет рассмотрены различные вариации в правилах и их влияние на вероятность победы/проигрыша, преимущество казино, дисперсию, ковариацию и прочее. Думаю найдутся люди, кто захочет эту информацию впитать, вдруг я не один такой :)

Преимущество казино и вероятность от вариации правил блэкджека

В этой статье представлена ​​информация, относящаяся к стандартным отклонениям правил в блэкджеке. Предполагается, что игрок придерживается базовой стратегии (про стратегии в других статьях, но выложу калькулятор базовых стратегий для всех правил блэкджека) в игре с кат картой (cut card). Каждая таблица является продуктом отдельного моделирования из десяти миллиардов разданных рук

Общее количество вариантов игры * количество играющих рук за раунд — это дисперсия плюс ковариантность * (x-1)
Ковариа́нтность и контравариа́нтность — используемые в математике (линейной алгебре, дифференциальной геометрии, тензорном анализе) и в физике понятия, характеризующие то, как тензоры (скаляры, векторы, операторы, билинейные формы и т. д.) изменяются при преобразованиях базисов в соответствующих пространствах или многообразиях. Контравариантными называют «обычные» компоненты, которые при смене базиса пространства изменяются с помощью преобразования, обратного преобразованию базиса. Ковариантными — те, которые изменяются так же, как и базис.

Следующая таблица — продукт многих симуляций и большой работы по программированию. Она показывает дисперсию (отклонение) и ковариантность для различных наборов правил.

Итоговая таблица

Колод Мягкие 17 Удвоение после сплита Саррендер разрешён Респлит тузов разрешён Ожидаемое значение Дисперсия Ковариантность
6 Стоит Да Да Да -0.00281 1.303 0.479
6 Стоит Нет Нет Нет -0.00573 1.295 0.478
6 Добирает Да Да Да -0.00473 1.312 0.487
6 Добирает Нет Нет Нет -0.00787 1.308 0.488
6 Добирает Да Нет Нет -0.00628 1.346 0.499
6 Добирает Нет Да Нет -0.00699 1.272 0.475
6 Добирает Нет Нет Да -0.00717 1.311 0.488
8 Добирает Нет Нет Нет -0.00812 1.309 0.489
2 Добирает Да Нет Нет -0.00398 1.341 0.495

Для сравнения, Стэнфорд Вонг (Stanford Wong) в своей книге «Профессиональный блэкджек» (стр. 203) говорит, что разница составляет 1,28, а ковариантность 0,47 для его контрольных правил (шесть колод, дилер стоит на мягких 17, нельзя удваивать после сплита, сплит тузов, без капитуляции). Вторая строка моей таблицы показывает, что для тех же правил я получаю соответственно 1.295 и 0.478, что достаточно близко.

Следующая таблица показывает влияние на ожидаемое значение, дисперсию (отклонение) и ковариацию различных изменений правил по сравнению с правилами Вонга.

Эффект от правил блэкджека

Правило Ожидаемое значение Дисперсия Ковариантность
Стоит на мягких 17 0.00191 -0.00838 -0.00764
Удвоение после сплита разрешено 0.00159 0.03753 0.01091
Капитуляция разрешена 0.00088 -0.03629 -0.01247
Респлит тузов разрешён 0.00070 0.00207 0.00037
8 колод -0.00025 0.00071 0.00063
2 колоды 0.00230 -0.00530 -0.00422

Ниже приведены таблицы, показывающие вероятность выигрыша в сети от одной до трех рук в соответствии с правилами Liberal Strip Rules, описанных далее.

Liberal Strip Rules — за раунд разыгрывается 1 рука

Первая таблица показывает вероятность того, что каждый чистый результат раунда с одной рукой (Liberal Strip Rules), которые заключаются в следующем:

  • Шесть колод
  • Дилер стоит на мягких 17 (S17)
  • Удваивать на первых двух картах (DA2)
  • Удвоение после сплита (DAS)
  • Разрешена поздняя сдача (late surrender) (LS)
  • Разрешен респлит тузов (RSA)
  • Игрок может респлитить до трёх раз (P3X)

6 Колод S17 DA2 DAS LS RSA P3X — 1 рука

Чистый исход Вероятность Возврат
-8 0.00000019 -0.00000154
-7 0.00000235 -0.00001643
-6 0.00001785 -0.00010709
-5 0.00008947 -0.00044736
-4 0.00048248 -0.00192993
-3 0.00207909 -0.00623728
-2 0.04180923 -0.08361847
-1 0.40171191 -0.40171191
-0.5 0.04470705 -0.02235353
0 0.08483290 0.00000000
1 0.31697909 0.31697909
1.5 0.04529632 0.06794448
2 0.05844299 0.11688598
3 0.00259645 0.00778935
4 0.00076323 0.00305292
5 0.00014491 0.00072453
6 0.00003774 0.00022646
7 0.00000609 0.00004263
8 0.00000066 0.00000526
Итого 1.00000000 -0.00277282

В приведенной выше таблице отражено следующее:

  • Преимущество казино = 0,28%
  • Дисперсия = 1,303
  • Стандартное отклонение = 1.412

Меня часто спрашивают о вероятности чистой победы в блэкджеке. Следующая таблица отвечает на этот вопрос.

Общий чистый исход в блэкджеке

Событие Вероятность
Победа 42.43%
Ничья (возврат) 8.48%
Проигрыш 49.09%

Следующие три таблицы возможные возможные события в зависимости от того, какое действие было предпринято первым: добрать, остановиться, сдаться, удвоить или разделить (split).

Чистый исход в случае добора, остановки или капитуляции (surrender) в виде первого действия

Событие Общее Вероятность Возврат
1.5 77147473 0.05144768 0.07717152
1 537410636 0.35838544 0.35838544
0 127597398 0.08509145 0
-0.5 76163623 0.05079158 -0.02539579
-1 681213441 0.45428386 -0.45428386
Итого 1499532571 1 -0.04412269

Чистый исход в случае удвоения в виде первого действия

Событие Общее Вероятность Возврат
2 89463603 0.54980265 1.09960529
0 11301274 0.06945249 0
-2 61954607 0.38074486 -0.76148972
Итого 162719484 1 0.33811558

Чистый исход в случае сплита в виде первого действия

Событие Общее Вероятность Возврат
8 1079 0.00002554 0.00020428
7 10440 0.00024707 0.00172948
6 64099 0.00151694 0.00910166
5 247638 0.00586051 0.02930255
4 1307719 0.030948 0.123792
3 4437365 0.10501306 0.31503917
2 10222578 0.24192379 0.48384758
1 2822458 0.06679526 0.06679526
0 5621675 0.1330405 0
-1 3520209 0.08330798 -0.08330798
-2 9425393 0.2230579 -0.4461158
-3 3559202 0.08423077 -0.25269231
-4 828010 0.01959538 -0.07838153
-5 152687 0.00361343 -0.01806717
-6 30536 0.00072265 -0.00433592
-7 3972 0.000094 -0.000658
-8 305 0.00000722 -0.00005774
Итого 42255365 1 0.14619552

Liberal Strip Rules — за раунд разыгрывается 2 руки

В следующей таблице показан чистый результат при игре с 2 руками за раунд, в соответствии с Liberal Strip Rules, описанными выше. Столбец Возврат показывает чистую победу между двумя руками.

6 Колод S17 DA2 DAS LS RSA P3X — 2 руки

Чистая победа Вероятность Возврат
-14 0.00000000 0.00000000
-13 0.00000000 -0.00000001
-12 0.00000001 -0.00000006
-11 0.00000003 -0.00000035
-10 0.00000023 -0.00000228
-9 0.00000163 -0.00001464
-8 0.00001040 -0.00008324
-7.5 0.00000000 -0.00000003
-7 0.00005327 -0.00037288
-6.5 0.00000009 -0.00000061
-6 0.00024527 -0.00147159
-5.5 0.00000114 -0.00000629
-5 0.00106847 -0.00534234
-4.5 0.00000967 -0.00004352
-4 0.00654661 -0.02618644
-3.5 0.00005733 -0.00020065
-3 0.04607814 -0.13823442
-2.5 0.00214887 -0.00537218
-2 0.23285866 -0.46571732
-1.5 0.03547663 -0.05321495
-1 0.09903321 -0.09903321
-0.5 0.01386072 -0.00693036
0 0.14677504 0.00000000
0.5 0.05888290 0.02944145
1 0.06026238 0.06026238
1.5 0.01030563 0.01545845
2 0.17250085 0.34500170
2.5 0.03020186 0.07550465
3 0.06443204 0.19329612
3.5 0.00559850 0.01959474
4 0.01072401 0.04289604
4.5 0.00024927 0.00112171
5 0.00187139 0.00935695
5.5 0.00007341 0.00040373
6 0.00049405 0.00296428
6.5 0.00001414 0.00009193
7 0.00012404 0.00086825
7.5 0.00000369 0.00002767
8 0.00002933 0.00023466
8.5 0.00000060 0.00000508
9 0.00000543 0.00004888
9.5 0.00000007 0.00000063
10 0.00000083 0.00000834
11 0.00000013 0.00000141
12 0.00000002 0.00000028
13 0.00000000 0.00000005
14 0.00000000 0.00000001
Итого 1.00000000 -0.00563798

В приведенной выше таблице отражено следующее:

  • Преимущество казино = 0,28%
  • Дисперсия за раунд = 3.565
  • Дисперсия за руку = 1.782
  • Стандартное отклонение за руку = 1,335

Liberal Strip Rules — за раунд разыгрывается 2 руки

В следующей таблице показан чистый результат при игре с 3 руками за раунд, в соответствии с Liberal Strip Rules, описанными выше. Столбец Return показывает чистый выигрыш между тремя руками.

6 Колод S17 DA2 DAS LS RSA P3X — 3 руки

Чистая победа Вероятность Возврат
-16 0.00000000 -0.00000001
-15 0.00000000 -0.00000001
-14 0.00000001 -0.00000007
-13 0.00000003 -0.00000041
-12 0.00000018 -0.00000218
-11 0.00000100 -0.00001099
-10.5 0.00000000 0.00000000
-10 0.00000531 -0.00005309
-9.5 0.00000001 -0.00000006
-9 0.00002581 -0.00023228
-8.5 0.00000005 -0.00000047
-8 0.00011292 -0.00090339
-7.5 0.00000049 -0.00000370
-7 0.00046097 -0.00322680
-6.5 0.00000397 -0.00002581
-6 0.00197390 -0.01184341
-5.5 0.00002622 -0.00014419
-5 0.00969361 -0.04846807
-4.5 0.00022638 -0.00101870
-4 0.04183392 -0.16733566
-3.5 0.00319799 -0.01119297
-3 0.15826947 -0.47480842
-2.5 0.02641456 -0.06603640
-2 0.08893658 -0.17787317
-1.5 0.02183548 -0.03275322
-1 0.09681697 -0.09681697
-0.5 0.04992545 -0.02496273
0 0.06712076 0.00000000
0.5 0.02111145 0.01055572
1 0.08978272 0.08978272
1.5 0.03789943 0.05684914
2 0.04349592 0.08699183
2.5 0.01123447 0.02808618
3 0.10813504 0.32440511
3.5 0.02489093 0.08711825
4 0.06196736 0.24786943
4.5 0.00906613 0.04079759
5 0.01805409 0.09027044
5.5 0.00154269 0.00848480
6 0.00409323 0.02455940
6.5 0.00027059 0.00175885
7 0.00107315 0.00751203
7.5 0.00007208 0.00054062
8 0.00030105 0.00240840
8.5 0.00001824 0.00015505
9 0.00008014 0.00072126
9.5 0.00000431 0.00004096
10 0.00001901 0.00019010
10.5 0.00000081 0.00000846
11 0.00000398 0.00004379
11.5 0.00000013 0.00000144
12 0.00000078 0.00000939
12.5 0.00000002 0.00000023
13 0.00000016 0.00000214
13.5 0.00000001 0.00000008
14 0.00000003 0.00000045
14.5 0.00000000 0.00000001
15 0.00000001 0.00000009
15.5 0.00000000 0.00000000
16 0.00000000 0.00000002
17 0.00000000 0.00000001
Итого 1.00000000 -0.00854917
Итого 1.00000000 -0.00563798

В приведенной выше таблице отражено следующее:

  • Преимущество казино = 0.285%
  • Дисперсия за раунд = 6,785
  • Дисперсия за руку = 2.262
  • Стандартное отклонение за руку = 1.504


Отзывы

Написать ответ...

Цитата
Комментировать